Как найти уравнение плоскости через 3 точки: простое объяснение и шаги

Уравнение плоскости является ключевым инструментом в аналитической геометрии, позволяющим задать положение и свойства плоскости в трехмерном пространстве через точки, нормальный вектор и рассчитать расстояние до нее.

Введение

В математике плоскость — это плоская поверхность, которая не имеет толщины и простирается бесконечно во все стороны. Плоскость является одним из основных объектов изучения в геометрии и алгебре.

Уравнение плоскости — это математическое выражение, которое определяет положение плоскости в пространстве. Оно может быть использовано для определения расстояния от точки до плоскости, проверки принадлежности точки плоскости и других геометрических операций.

В этом уроке мы рассмотрим, как задать уравнение плоскости через 3 точки, как найти нормальный вектор плоскости и как найти расстояние от точки до плоскости. Также мы узнаем, как проверить, принадлежит ли точка плоскости.

Как задать уравнение плоскости через 3 точки?

Уравнение плоскости можно задать, зная координаты трех точек, через которые она проходит. Для этого используется следующий метод:

  1. Выберите три точки на плоскости и запишите их координаты. Назовем эти точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3).
  2. Найдите векторы AB и AC, используя формулу: AB = B — A и AC = C — A.
  3. Найдите векторное произведение векторов AB и AC, используя формулу: N = AB × AC, где N — нормальный вектор плоскости.
  4. Используя найденный нормальный вектор N и координаты одной из точек (например, A), запишите уравнение плоскости в виде: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — коэффициенты уравнения.

Таким образом, уравнение плоскости через 3 точки будет иметь вид: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D можно найти, используя указанный выше метод.

Читайте также  Перпендикулярные и параллельные прямые: определение, свойства и отношение между ними

Как найти нормальный вектор плоскости?

Нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный плоскости и указывающий в направлении, противоположном от плоскости.

Для того чтобы найти нормальный вектор плоскости, можно воспользоваться следующими шагами:

  1. Запишите уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C — коэффициенты перед переменными x, y и z, а D — свободный член.
  2. Найдите коэффициенты A, B и C путем сравнения уравнения плоскости с общим уравнением плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
  3. Нормальный вектор плоскости будет иметь координаты (A, B, C).

Таким образом, нормальный вектор плоскости можно найти, зная коэффициенты уравнения плоскости.

Как найти расстояние от точки до плоскости?

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно выполнить следующие шаги:

  1. Запишите уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — коэффициенты.
  2. Найдите нормальный вектор плоскости, который будет иметь координаты (A, B, C).
  3. Найдите расстояние от точки до плоскости с помощью формулы:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Где d — расстояние от точки до плоскости, (x, y, z) — координаты точки, A, B, C и D — коэффициенты уравнения плоскости.

Таким образом, вы можете найти расстояние от точки до плоскости, используя уравнение плоскости и координаты точки.

Как проверить, принадлежит ли точка плоскости?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка плоскости, нужно подставить координаты этой точки в уравнение плоскости и проверить, выполняется ли равенство.

Уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

Где (x, y, z) — координаты точки, A, B, C и D — коэффициенты уравнения плоскости.

Если при подстановке координат точки в уравнение плоскости получается равенство, то точка принадлежит плоскости. Если равенство не выполняется, то точка не принадлежит плоскости.

Читайте также  Основы ортогональности и параллельности: понятие, свойства и применение

Например, если уравнение плоскости имеет вид 2x + 3y — z + 4 = 0, и нужно проверить, принадлежит ли точка (1, -2, 3) этой плоскости, то подставляем координаты точки в уравнение:

2 * 1 + 3 * (-2) — 3 + 4 = 0

2 — 6 — 3 + 4 = 0

-3 — 3 + 4 = 0

-6 + 4 = 0

-2 = 0

Так как получается неравенство, то точка (1, -2, 3) не принадлежит плоскости 2x + 3y — z + 4 = 0.

Заключение

Уравнение плоскости — это математическое выражение, которое описывает все точки, лежащие на данной плоскости. Оно может быть задано различными способами, например, через координаты трех точек или через нормальный вектор и точку на плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный плоскости и указывающий в направлении, противоположном от плоскости. Он может быть найден с помощью векторного произведения двух векторов, лежащих на плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикулярного отрезка, соединяющего данную точку с плоскостью. Оно может быть найдено с использованием формулы, которая использует координаты точки и уравнение плоскости.

Проверка принадлежности точки плоскости — это процесс, при котором мы подставляем координаты точки в уравнение плоскости и проверяем, выполняется ли оно. Если уравнение выполняется, то точка принадлежит плоскости, в противном случае — нет.