Решение квадратных уравнений: основная теорема Виета и простые способы

В данной статье рассматривается квадратное уравнение и его основные свойства, включая формулу дискриминанта и теорему Виета, а также приводятся примеры решения квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.

Введение

В курсе математики мы изучаем различные типы уравнений и способы их решения. Одним из наиболее распространенных типов уравнений являются квадратные уравнения. Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — это коэффициенты, а x — неизвестная переменная. В этой лекции мы рассмотрим основные понятия, связанные с квадратными уравнениями, такие как формула дискриминанта и теорема Виета. Эти инструменты позволяют нам находить корни квадратных уравнений и решать задачи, связанные с ними. Давайте начнем с определения квадратного уравнения и продвинемся дальше, чтобы понять, как применять эти концепции на практике.

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

ax^2 + bx + c = 0,

где a, b и c — коэффициенты, причем a ≠ 0.

В этом уравнении переменная x является неизвестной, а коэффициенты a, b и c — известными числами.

Квадратное уравнение называется таким, потому что степень переменной x в нем равна 2.

Решение квадратного уравнения — это нахождение всех значений переменной x, при которых уравнение выполняется.

Формула дискриминанта

Дискриминант — это выражение, которое позволяет определить, сколько корней имеет квадратное уравнение и какие они.

Формула дискриминанта для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 выглядит следующим образом:

Дискриминант (D) = b^2 — 4ac.

Здесь a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения.

Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

1. Если дискриминант положительный (D > 0), то квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня.

Читайте также  Культура Французского Возрождения: история, особенности и влияние на искусство

2. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то квадратное уравнение имеет один вещественный корень, который называется кратным корнем.

3. Если дискриминант отрицательный (D < 0), то квадратное уравнение не имеет вещественных корней, но имеет два комплексных корня.

Зная значение дискриминанта, мы можем определить, сколько корней имеет квадратное уравнение и какие они.

Теорема Виета

Теорема Виета — это формула, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями.

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида:

ax^2 + bx + c = 0

где a, b и c — коэффициенты уравнения, а x — переменная.

Теорема Виета утверждает, что сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, а их произведение равно c/a.

То есть, если у нас есть корни x1 и x2, то:

x1 + x2 = -b/a

x1 * x2 = c/a

Эта теорема позволяет нам находить сумму и произведение корней квадратного уравнения, даже если сами корни неизвестны.

Теорема Виета является очень полезным инструментом при решении квадратных уравнений и может быть использована для проверки правильности найденных корней.

Примеры решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Для примеров решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, давайте рассмотрим следующее уравнение:

ax^2 + bx + c = 0

где a, b и c — коэффициенты уравнения.

Пример 1:

Решим уравнение x^2 — 5x + 6 = 0 с помощью теоремы Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

В данном случае, a = 1, b = -5 и c = 6.

Сумма корней будет равна -(-5)/1 = 5, а произведение корней будет равно 6/1 = 6.

Таким образом, мы знаем, что корни уравнения имеют сумму 5 и произведение 6.

Теперь мы можем найти сами корни уравнения, зная их сумму и произведение.

Для этого мы можем использовать факт, что корни уравнения являются решениями уравнения (x — m)(x — n) = 0, где m и n — корни уравнения.

Читайте также  Технология социальной работы с пожилыми людьми: определение, методы и роль социального работника

В данном случае, мы знаем, что m + n = 5 и mn = 6.

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения m и n.

Решая систему уравнений, мы получаем m = 2 и n = 3.

Таким образом, корни уравнения x^2 — 5x + 6 = 0 равны 2 и 3.

Пример 2:

Решим уравнение 2x^2 + 7x — 3 = 0 с помощью теоремы Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

В данном случае, a = 2, b = 7 и c = -3.

Сумма корней будет равна -7/2, а произведение корней будет равно -3/2.

Теперь мы можем найти сами корни уравнения, зная их сумму и произведение.

Для этого мы можем использовать факт, что корни уравнения являются решениями уравнения (x — m)(x — n) = 0, где m и n — корни уравнения.

В данном случае, мы знаем, что m + n = -7/2 и mn = -3/2.

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения m и n.

Решая систему уравнений, мы получаем m = -3 и n = 1/2.

Таким образом, корни уравнения 2x^2 + 7x — 3 = 0 равны -3 и 1/2.

Заключение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты, а x — неизвестная переменная. Для решения квадратного уравнения существует формула дискриминанта, которая позволяет определить количество и тип корней уравнения. Теорема Виета позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя коэффициенты a, b и c. Эти инструменты могут быть полезны при решении различных задач, связанных с квадратными уравнениями.