Обобщенная теорема фалеса: простое объяснение и основные свойства

Обобщенная теорема Фалеса — это геометрическое утверждение, которое говорит о соотношении длин отрезков, проведенных из вершины треугольника к прямой, параллельной противоположной стороне.

Введение

В данной лекции мы будем изучать обобщенную теорему Фалеса. Эта теорема является обобщением классической теоремы Фалеса, которую мы уже изучали ранее. Обобщенная теорема Фалеса позволяет нам находить отношения длин отрезков в треугольниках, когда прямые, проходящие через вершины треугольника, пересекаются на одной прямой. В этой лекции мы рассмотрим определение обобщенной теоремы Фалеса, ее свойства, примеры применения и докажем ее. Давайте начнем!

Обобщенная теорема Фалеса: определение

Обобщенная теорема Фалеса — это геометрическое утверждение, которое говорит о соотношении длин отрезков, проведенных из вершин треугольника к прямым, параллельным противоположной стороне.

Формально, если в треугольнике ABC провести прямую, параллельную стороне BC, и пересечь ее с прямыми, проходящими через вершины A и B, то полученные отрезки будут пропорциональны:

AB/AC = BD/DE = BC/CE

где AB, AC, BD, DE, BC и CE — длины соответствующих отрезков.

Свойства обобщенной теоремы Фалеса:

Пропорциональность отрезков:

Если в треугольнике ABC провести прямую, параллельную одной из сторон, и пересечь ее с прямыми, проходящими через вершины A и B, то отрезки, полученные таким образом, будут пропорциональны:

AB/AC = BD/DE = BC/CE

Обратная пропорциональность:

Если в треугольнике ABC провести прямую, параллельную одной из сторон, и пересечь ее с прямыми, проходящими через вершины A и B, то отрезки, полученные таким образом, будут обратно пропорциональны к соответствующим сторонам треугольника:

AB/BD = AC/CE = BC/DE

Сохранение пропорциональности:

Если в треугольнике ABC провести прямую, параллельную одной из сторон, и пересечь ее с прямыми, проходящими через вершины A и B, то отрезки, полученные таким образом, будут пропорциональны отрезкам, полученным при параллельном пересечении других сторон треугольника:

Читайте также  Основы расчета объема параллелепипеда: определение, формула и примеры

AB/AC = BD/DE = BC/CE = AF/FG = BG/GC

Сохранение отношения:

Если в треугольнике ABC провести прямую, параллельную одной из сторон, и пересечь ее с прямыми, проходящими через вершины A и B, то отношение длин отрезков, полученных таким образом, будет равно отношению длин соответствующих сторон треугольника:

(AB/AC) : (BD/DE) : (BC/CE) = AB/AC : BD/DE : BC/CE

Примеры применения обобщенной теоремы Фалеса:

Пример 1:

Предположим, у нас есть треугольник ABC, и мы хотим найти отношение длин отрезков, полученных при параллельном пересечении других сторон треугольника.

Пусть AB = 6 см, AC = 8 см, BD = 4 см и DE = 2 см.

Используя обобщенную теорему Фалеса, мы можем найти отношение длин отрезков:

(AB/AC) : (BD/DE) : (BC/CE) = (6/8) : (4/2) : (BC/CE) = 3/4 : 2/1 : (BC/CE) = 3/4 : 2 : (BC/CE)

Теперь мы можем решить уравнение и найти значение (BC/CE).

Пример 2:

Предположим, у нас есть треугольник ABC, и мы знаем отношение длин отрезков, полученных при параллельном пересечении других сторон треугольника.

Пусть отношение длин отрезков равно 3/5 : 2/3 : 4/7.

Используя обобщенную теорему Фалеса, мы можем найти длины отрезков, если мы знаем длину одной из сторон треугольника.

Пусть AB = 10 см.

Тогда мы можем найти длины отрезков:

AC = (3/5) * AB = (3/5) * 10 = 6 см

BD = (2/3) * AB = (2/3) * 10 = 6.67 см

DE = (4/7) * AB = (4/7) * 10 = 5.71 см

Таким образом, обобщенная теорема Фалеса позволяет нам находить отношения длин отрезков, полученных при параллельном пересечении других сторон треугольника, а также находить длины отрезков, если известно отношение и длина одной из сторон треугольника.

Доказательство обобщенной теоремы Фалеса

Для доказательства обобщенной теоремы Фалеса рассмотрим треугольник ABC и проведем через точку D, лежащую на стороне AB, прямую, параллельную стороне BC. Пусть точка E лежит на стороне AC так, что DE параллельно стороне AB.

Читайте также  Все, что вы должны знать о сумме углов треугольника: определение, свойства и доказательство теоремы

Требуется доказать, что отношение длин отрезков BD и DC равно отношению длин отрезков AE и EC.

Шаг 1: Построение вспомогательных отрезков

Проведем прямую, проходящую через точку C и параллельную стороне AB. Пусть точка F — точка пересечения этой прямой с прямой DE.

Шаг 2: Доказательство подобия треугольников

Так как DE параллельно AB, то по свойству параллельных прямых угол AED равен углу ABC. А так как прямая CF параллельна AB, то угол CFE равен углу ABC.

Таким образом, углы AED и CFE равны, а значит, треугольники AED и CFE подобны по двум углам.

Шаг 3: Доказательство равенства отношений длин

Из подобия треугольников AED и CFE следует, что отношение длин отрезков AE и EC равно отношению длин отрезков DE и CF.

Также, по свойству параллельных прямых, отрезки DE и CF равны.

Следовательно, отношение длин отрезков AE и EC равно отношению длин отрезков DE и CF, то есть:

AE/EC = DE/CF

Но отрезки CF и BD равны, так как они параллельны и имеют общую точку F.

Таким образом, получаем:

AE/EC = DE/CF = DE/BD

Из этого равенства следует, что отношение длин отрезков BD и DC равно отношению длин отрезков AE и EC, что и требовалось доказать.

Таким образом, обобщенная теорема Фалеса доказана.

Заключение

Обобщенная теорема Фалеса является важным инструментом в геометрии, который позволяет находить пропорции в треугольниках и других фигурах. Она основана на принципе подобия и позволяет нам делать выводы о соотношениях между сторонами и отрезками в геометрических фигурах. Понимание этой теоремы поможет студентам решать задачи и анализировать геометрические конструкции.