Основные функции и свойства графиков: понятное объяснение и примеры

Статья рассказывает о функциях и их графиках, а также о свойствах их изменений при различных преобразованиях.

Введение

В данной лекции мы будем изучать основные понятия и свойства функций. Функция — это математический объект, который связывает каждое значение аргумента с определенным значением функции. График функции — это графическое представление функции на координатной плоскости.

Мы рассмотрим различные свойства графика функции, такие как сдвиг графика по оси x и y, отражение графика относительно осей, а также изменение масштаба графика. Эти свойства позволяют нам легко анализировать и визуализировать функции.

Далее мы рассмотрим взаимосвязь между функциями y = f(x) и y = f(x + h), y = f(x — h), y = f(x + h) + k, y = f(x — h) + k, y = -f(x), y = f(-x) и y = -f(-x). Эти преобразования позволяют нам изменять форму и положение графика функции.

Определение функции

Функция — это математическое понятие, которое описывает зависимость одной величины (называемой аргументом) от другой величины (называемой значением функции).

Функция обозначается символом f и записывается в виде y = f(x), где x — аргумент, а y — значение функции.

Функция может быть задана различными способами: аналитически (с помощью формулы), графически (с помощью графика) или таблицей значений.

Важно отметить, что каждому значению аргумента x соответствует только одно значение функции y. Если для одного значения аргумента x существует несколько значений функции y, то это не является функцией.

Понятие графика функции

График функции — это геометрическое представление функции на плоскости. Он показывает зависимость значений функции от ее аргумента.

График функции строится в декартовой системе координат, где ось x — это горизонтальная ось, а ось y — вертикальная ось. Каждая точка на графике имеет координаты (x, y), где x — значение аргумента, а y — значение функции.

График функции может иметь различные формы и свойства, которые зависят от самой функции. Например, график линейной функции представляет собой прямую линию, график квадратичной функции — параболу, а график тригонометрической функции — периодическую кривую.

График функции может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знака значений функции. Если значения функции положительны, то график находится выше оси x, а если значения функции отрицательны, то график находится ниже оси x.

График функции может также иметь точки пересечения с осями координат. Точка пересечения с осью x называется корнем функции, а точка пересечения с осью y называется началом координат.

Изучение графика функции позволяет анализировать ее свойства, такие как возрастание, убывание, экстремумы, асимптоты и другие. График функции является важным инструментом для понимания ее поведения и использования в различных областях науки и техники.

Свойства графика функции

График функции имеет ряд свойств, которые позволяют анализировать ее поведение и характеристики. Рассмотрим некоторые из них:

Читайте также  Основы словообразования: понятие, типы и процессы

Возрастание и убывание

Функция называется возрастающей на интервале, если с увеличением значения аргумента значения функции также увеличиваются. Функция называется убывающей на интервале, если с увеличением значения аргумента значения функции уменьшаются.

Экстремумы

Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает максимального или минимального значения. Максимум — это точка, в которой функция имеет наибольшее значение, а минимум — точка с наименьшим значением.

Асимптоты

Асимптоты — это прямые линии, которые график функции приближается, но никогда не пересекает. Существуют горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты. Горизонтальная асимптота — это горизонтальная прямая, к которой график функции стремится при удалении от начала координат. Вертикальная асимптота — это вертикальная прямая, которую график функции приближается, но никогда не пересекает. Наклонная асимптота — это наклонная прямая, к которой график функции стремится при удалении от начала координат.

Симметрия

График функции может обладать различными видами симметрии. Функция называется четной, если ее график симметричен относительно оси y. Функция называется нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат.

Периодичность

Функция называется периодической, если ее график повторяется через определенный интервал. Период функции — это наименьшее положительное число, при котором функция повторяется.

Изучение этих свойств графика функции позволяет более глубоко понять ее поведение и использовать ее в различных областях науки и техники.

Функции y = f(x) и y = f(x + h)

Рассмотрим две функции: y = f(x) и y = f(x + h), где h — некоторое число.

Определение

Функция y = f(x + h) получается из функции y = f(x) путем сдвига графика функции влево или вправо на h единиц.

Свойства

1. График функции y = f(x + h) сдвигается влево на h единиц по сравнению с графиком функции y = f(x).

2. Если график функции y = f(x) имеет точку (a, b), то график функции y = f(x + h) будет иметь точку (a — h, b).

3. Если график функции y = f(x) имеет асимптоту, то график функции y = f(x + h) также будет иметь асимптоту, но сдвинутую на h единиц.

Сдвиг графика функции y = f(x) на h единиц влево или вправо позволяет изменить положение функции на координатной плоскости и анализировать ее поведение в различных точках.

Функции y = f(x) и y = f(x — h)

Рассмотрим две функции: y = f(x) и y = f(x — h), где h — некоторое число.

Функция y = f(x) представляет собой зависимость значения y от значения x. А функция y = f(x — h) представляет собой зависимость значения y от значения (x — h).

Чтобы понять, как связаны эти две функции, рассмотрим, как изменяется значение аргумента x.

В функции y = f(x), значение аргумента x принимает различные значения, и соответствующие значения y определяют положение точек на графике функции.

В функции y = f(x — h), значение аргумента (x — h) также принимает различные значения, и соответствующие значения y также определяют положение точек на графике функции.

Однако, в функции y = f(x — h) значение аргумента (x — h) сдвинуто на h единиц влево по сравнению с функцией y = f(x).

Читайте также  Финансовая система Франции: история, участники, институты и роль в мировой экономике

То есть, если в функции y = f(x) значение x равно a, то в функции y = f(x — h) значение (x — h) будет равно (a — h).

Таким образом, график функции y = f(x — h) будет иметь точку (a — h, b), где b — значение функции y = f(x) в точке a.

Из этого следует, что график функции y = f(x — h) получается из графика функции y = f(x) путем сдвига его влево на h единиц.

Сдвиг графика функции y = f(x) на h единиц влево позволяет изменить положение функции на координатной плоскости и анализировать ее поведение в различных точках.

Функции y = f(x) и y = f(x + h) + k

Рассмотрим две функции: y = f(x) и y = f(x + h) + k, где f(x) — некоторая функция, h — сдвиг по оси x, k — сдвиг по оси y.

Функция y = f(x) представляет собой график функции f(x) на координатной плоскости.

Функция y = f(x + h) + k представляет собой график функции f(x), сдвинутый вправо на h единиц и вверх на k единиц.

Сдвиг графика функции на h единиц вправо позволяет изменить положение функции на координатной плоскости. Точка (a, b) на графике функции y = f(x) будет соответствовать точке (a + h, b + k) на графике функции y = f(x + h) + k, где a — значение аргумента x, b — значение функции y = f(x) в точке a.

Сдвиг графика функции на k единиц вверх позволяет изменить положение функции по оси y. Таким образом, график функции y = f(x + h) + k будет находиться выше графика функции y = f(x) на k единиц.

Использование функции y = f(x + h) + k позволяет анализировать поведение функции f(x) в различных точках и учитывать сдвиги по осям x и y.

Функции y = f(x) и y = f(x — h) + k

Функции y = f(x) и y = f(x — h) + k представляют собой две разные функции, которые могут быть построены на графике.

Функция y = f(x)

Функция y = f(x) описывает зависимость значения y от значения x. График функции представляет собой множество точек (x, y), где x — аргумент функции, а y — значение функции для данного аргумента.

Например, если у нас есть функция y = 2x, то для каждого значения x мы можем вычислить соответствующее значение y. Например, при x = 1, y = 2 * 1 = 2, при x = 2, y = 2 * 2 = 4 и т.д. Таким образом, мы можем построить график функции, соединив все эти точки.

Функция y = f(x — h) + k

Функция y = f(x — h) + k также описывает зависимость значения y от значения x, но сдвигает график функции y = f(x) на h единиц вправо и на k единиц вверх.

Например, если у нас есть функция y = 2x, и мы хотим построить функцию y = 2(x — 1) + 3, то мы сначала сдвигаем график функции y = 2x на 1 единицу вправо, а затем на 3 единицы вверх. Таким образом, новый график будет находиться правее и выше исходного графика.

Использование функции y = f(x — h) + k позволяет анализировать поведение функции f(x) в различных точках и учитывать сдвиги по осям x и y.

Читайте также  Таблица растворимости кислот и солей: основные понятия и свойства в химии

Функции y = f(x) и y = -f(x)

Функция y = f(x) представляет собой график, где значение y зависит от значения x. Это означает, что при изменении значения x, значение y также изменяется в соответствии с заданной функцией.

Функция y = -f(x) является отрицанием функции y = f(x). Это означает, что значения y в новой функции будут противоположными значениям y в исходной функции для каждого значения x.

Например, если исходная функция y = f(x) задает график, который идет вверх, то функция y = -f(x) задаст график, который идет вниз. Если исходная функция имеет точку перегиба, то функция с отрицанием также будет иметь точку перегиба, но с противоположным направлением.

Использование функции y = -f(x) позволяет анализировать симметрию графика относительно оси x. Если исходный график симметричен относительно оси x, то новый график будет симметричен относительно оси y.

Функции y = f(x) и y = f(-x)

Когда мы рассматриваем функцию y = f(x), мы подставляем значения x в функцию и получаем соответствующие значения y. Но что произойдет, если мы заменим x на -x? В этом случае мы получим функцию y = f(-x).

Использование функции y = f(-x) позволяет анализировать симметрию графика относительно оси y. Если исходный график симметричен относительно оси y, то новый график будет симметричен относительно оси x.

Например, если исходная функция имеет график, который идет вверх, то функция y = f(-x) задаст график, который идет вниз. Если исходная функция имеет точку перегиба, то функция с заменой x на -x также будет иметь точку перегиба, но с противоположным направлением.

Использование функции y = f(-x) также позволяет анализировать симметрию графика относительно начала координат. Если исходный график симметричен относительно начала координат, то новый график будет также симметричен относительно начала координат.

Функции y = f(x) и y = -f(-x)

Рассмотрим две функции: y = f(x) и y = -f(-x).

Функция y = f(x) представляет собой исходную функцию, где значение y зависит от значения x. График этой функции может быть любой формы и может иметь различные свойства, такие как возрастание, убывание, точки экстремума и т. д.

Функция y = -f(-x) является модификацией исходной функции. Здесь значение y также зависит от значения x, но с некоторыми изменениями. Во-первых, функция умножается на -1, что приводит к изменению знака значения y. Во-вторых, значение x заменяется на -x, что приводит к изменению направления графика.

Использование функции y = -f(-x) позволяет анализировать симметрию графика относительно оси y. Если исходный график симметричен относительно оси y, то новый график будет также симметричен относительно оси y.

Также стоит отметить, что функция y = -f(-x) может иметь те же свойства, что и исходная функция y = f(x), такие как возрастание, убывание, точки экстремума и т. д. Однако, направление изменения этих свойств будет противоположным.

Заключение

В данной лекции мы рассмотрели основные понятия и свойства функций. Функция — это математический объект, который сопоставляет каждому элементу из одного множества (называемого областью определения) элемент из другого множества (называемого областью значений). График функции — это геометрическое представление функции на плоскости, где ось x соответствует области определения, а ось y — области значений. Мы изучили различные свойства графиков функций, такие как сдвиг по оси x и y, отражение относительно осей, а также изменение масштаба. Эти свойства позволяют нам анализировать и визуализировать функции, что является важным инструментом в математике и ее приложениях.